求与曲线y=x^3+3x^2-1相切且垂直于直线x-3y+2=0的直线方程。

x-3y+2=0
y=x/3+2/3,斜率是1/3
切线与之垂直，所以切线斜率=-3

y=x^3+3x^2-1
y'=3x^2+6x
导数就是切线斜率
切线斜率=-3
所以3x^2+6x=-3
x^2+2x+1=0
x=-1
y=x^3+3x^2-1=-1+3-1=1
所以切点是(-1,1)
所以直线y-1=-3(x+1)
3x+y+2=0

设所求直线为l。则由于l与x-3y+2=0相切，所以l的斜率为-3
那么，设l与y=x^3+3x^2-1相切与点(s,t)
则-3=f'(s)。即-3=3s^2+6s。解得s=-1
于是t=-1+3-1=1
所以l的方程为y-1=-3(x+1)，即3x+y+2=0

设与曲线y=x^3+3x^2-1相切的直线方程为y-y0=k(x-x0) ，切点T(x0,y0),∵k=-3，又y'=2x^2+6x,k=3(x0)^2+6(x0)=-3,
∴x0=-1,y0=(x0)^3+3(x0)^2-1=1
∴y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0为所求